Cho a,b,c>0.CMR
a/b+c+b/c+a+c/b+a lớn hơn hoặc bằng 3/2
CMR:(a^2+b^2+c^2)(1/a+b +1/b+c +1/a+c) lớn hơn hoặc bằng 3/2(a+b+c) VỚI a,b,c lớn hơn 0
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
Các bạn giúp tớ giải bài tập nha
1. Cho a,b,c > 0
CM: a) 1 < a/b+c + b/a+c + c/a+b < 2
2. Cho x lớn hơn hoặc bằng y lớn hơn hoặc bằng 1
CMR: x + 1/x lớn hơn hoặc bằng y + 1/y
B1:Cho a>0, a2=bc
a+b+c=abc
Cmr:
a lớn hơn hoặc bằng căn3,b>0,c>0,b2+c2 lớn hơn hoặc bằng 2a2
B2: Cho hệ
a2+b2+c2=2
ab+bc+ca=1
Cmr: a,b,c thuộc {-4/3;4/3}
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
Cho a,b,c>0.CMR
a,(a+b+c)*(1/a+b+1/b+c+1/c+a) lớn hơn hoặc bằng 9/2
a)Áp dụng bđt AM-GM cho 6 số không âm a+b,b+c,c+a ta được
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
TT\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân vế theo vế ta được:\(2\left(a+b+c\right)\cdot\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Cho a,b,c lớn hơn 0 CMR:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\)lớn hơn hoặc bằng a +b +c
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{a^3}{bc}+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a\)
\(\frac{b^3}{ca}+c+a\geq 3\sqrt[3]{b^3}=3b\)
\(\frac{c^3}{ab}+a+b\geq 3\sqrt[3]{c^3}=3c\)
Cộng theo vế thu được:
\(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}+2(a+b+c)\geq 3(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
CMR với mọi a,b,c thực thì
A) a^2+b^2+c^2+ab+Bc+ca lớn hơn hoặc bằng 0
B)a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca lớn hơn hoặc băng 0
ta áp dụng cô-si la ra
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+ac+bc
̣̣(a - b)^2 ≥ 0 => a^2 + b^2 ≥ 2ab (1)
(b - c)^2 ≥ 0 => b^2 + c^2 ≥ 2bc (2)
(a - c)^2 ≥ 0 => a^2 + c^2 ≥ 2ac (3)
cộng (1) (2) (3) theo vế:
2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab+ac+bc)
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ac+bc
dấu = khi : a = b = c
Bạn cm hộ mình cô si la dc k mình chưa học đến
1.Với a> hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2)+ (1/1+b^2) lớn hơn hoặc bằng 2/1+ab
2.Với a > hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1,c lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2) +(1/1+b^2)+ (1/1+c^2) lớn hơn hoặc bằng 3/1+abc
3.Cho a,b,c >0 và a< hoặc bằng 1, b/2+a < hoặc bằng 2, c/3+b/2+a < hoặc bằng 3.Tìm Min P=1/a +1/b + 1/c
Giusp e với ạ.Cần lắm ạ.
1.Với a> hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2)+ (1/1+b^2) lớn hơn hoặc bằng 2/1+ab
2.Với a > hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1,c lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2) +(1/1+b^2)+ (1/1+c^2) lớn hơn hoặc bằng 3/1+abc
3.Cho a,b,c >0 và a< hoặc bằng 1, b/2+a < hoặc bằng 2, c/3+b/2+a < hoặc bằng 3.Tìm Min P=1/a +1/b + 1/c
Giusp e với ạ.Cần lắm ạ.